[Chapter 3] 3.1 고체에서의 결합력과 에너지 대역 (2)

안녕하세요 물리는 무리야 입니다.

건너뛴 2장에서는 전자들이 원자 내에서 일련의 불연속적인 에너지 준위로 한정되어 있음을 확인 부분입니다.

2장 내용은 3장의 내용과 같이 설명하도록 하겠습니다.

 

에너지 준위에는 전자가 존재할 수 없는 큰 에너지 간극(Gap)이 있습니다.

이와 같이 고체 내에서 전자들도 특정한 에너지값을 갖도록 제한되어 다른 에너지 준위에는 있을 수 없습니다.

이러한 에너지값의 영역을 대역(Band)라고 합니다.

 

그렇다면 이 대역은 어디서부터 기초되어 형성된 것일까요?

 

이것을 알아보기 위해서는 우리가 보어의 수소 원자 모델로 돌아가야 합니다.

보어 이전에 제시되었던 러더퍼드의 원자모델은 핵을 중심으로

전자가 궤도운동을 하며 주위를 도는 모형이었습니다. 

러더퍼드 원자모형

하지만 이러한 해석은 단순히 고전물리의 뉴턴의 운동법칙과

전기력에대한 쿨롱법칙을 적용한 것에 불과합니다. 

 

전자에 작용하는 쿨롱힘과 원심력이 같다고 놓아 속도를 구한 후,

전자의 운동에너지와 퍼텐셜에너지를 더한 것에

앞에서 구한 속도를 대입하면 수소 원자의 총 에너지를 구할 수 있다.

 

원자가 안정하면 문제가 없으나 전자기 이론에 따라서 

가속되는 전하는 전자기파의 형태로 에너지를 방출해야 하기때문에

핵 주위를 도는 전자는 연속해서 에너지를 잃어야하고 결국 핵 속으로 빨려들어가야 합니다.

 

그 이후 원자 스펙트럼 실험을 통해서 원자에 의한 빛의 흡수와 방출을 확인하였고,

파장이 불연속적으로 분포한다는 것을 발견하였습니다.

원자 스펙트럼 (방출)

 

이러한 이유들로 보어는 새로운 원자 모델을 구상하였고 그것이 보어모델입니다.

보어 모델

보어 모델은 3가지 가정이 있습니다.

 

1. 전자는 원자핵 주위 어떤 특정한 안정한 원형의 궤도에만 존재 할 수 있으며, 궤도를 따라 원형으로 운동한다. 이러한 궤도 운동상태에서는 전자가 가속도 운동르 하고 있으나 에너지를 방출, 흡수 하지 않는다. 그렇지 않으면 궤도내의 전자는 안정하지 못하며, 에너지가 손실에 해당하는 어떠한 복사나 방출을 일으킨다면 나선 운동으로 핵과 충돌, 붕괴될 것이다.

 

2. 한 궤도에서 다른 궤도로 전자가 이동할 때 그 에너지 준위차 만큼의 에너지를 흡수한다. E= hν= E₁- E₂

 

3. 전자의 각운동량은 아래의 정수배여야 한다. $${\displaystyle \hbar } = (\frac{h}{2\pi })$$ 

(전자는 궤도가 드브로이 파장의 정수배여야만 상쇄간섭 없이 진동할 수 있기 떄문이다.)

 

보어모델에서 제시한 궤도에서 전자의 에너지를 구해보면

원심력과 쿨롱 힘이 같다는 식을 통해서 $$\left (\frac{mv^{2}}{r} \right ) = \left (\frac{e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}} \right )$$

v = $$\frac{e}{\sqrt{4\pi \varepsilon _{0}mr}}$$

속도를 구하고

드브로이 파장과 $$\lambda = \frac{h}{mv} $$ 

궤도 안정화 조건을 통해서 $$n\lambda = 2\pi r_{n}$$ 

보어 원자의 궤도 반지름을 구할 수 있습니다. $$r_{n} = \frac{n^{2}h^{2}\epsilon _{0}}{\pi me^{2}}$$ 

 

전자의 에너지를 궤도 반지름으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$E_{n} = \frac{1}{2}mv^{2}(v=\frac{e}{\sqrt{4\pi e_{0}mr_{n}}})+(-\frac{e^{2}}{4\pi e_{0}r_{n}})$$

$$E_{n} = -\frac{e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{n}}$$

 

여기에 위에서 구한 궤도 반지름을 에너지 식에 대입하게 되면 아래와 같습니다.

$$E_{n} = -\frac{me^{4}}{8\epsilon {_{0}}^{2}h^{2}}\left ( \frac{1}{n^{2}} \right )$$

 

위 식을 통해서 에너지 준위가 궤도에 따라서 불연속적이라는 것을 확인할 수 있습니다.

불연속적인 에너지 준위

단일 원자가 아닌 고체는 독립적인 원자 내의 불연속적인 에너지 준위가

서로 인접한 원자들과 최외각전자들의 파동함수부터 겹치게 됩니다.

고체에서는 이들이 퍼져서 에너지 대역으로 나타나게 되는 것입니다.

(겹침의 이유는 슈뢰딩거 파동 방정식의 경계조건과 포텐셜 에너지의 변화 때문입니다.)

 

고립 원자들의 에너지 준위는 불연속적이지만

고립 원자들이 근접하여 고체를 형성할 때 파울리 배타원리에 따라 2개의 전자는 동일한 양자 상태에 있을 수 없게 됩니다.

그렇기에 기존 에너지 준위는 변해야 합니다.

그 때문에 2개의 전자의 경우 원래 가지고 있던 에너지 준위가 아닌 서로 다른 두개의 준위에 각각 위치하게 되고

원래의 준위가 새로운 2개의 준위로 갈라지게 됩니다. (energy leel splitting)

 

전자가 두개인 궤도 1에서의 준위 갈라짐                                        무수히 많은 원자들에 의해서 갈라진 에너지 준위

외각 오비탈과 높은 에너지 준위의 전자들의 상호작용이 커지면서

준위의 갈라짐이 심화되고 폭이 넓어집니다.

이때, 갈라진 준위 폭이 매우 작기 때문에 준위들을 연속적으로 분포한 것으로 간주하여 

(1eV 사이에 10¹¹ 개 준위가 존재함) 

좁은 에너지 대역 내에 무수히 많은 에너지 준위를 갖는 에너지 밴드가 형성되는 것입니다.